400-633-0111
点击刷新
行测考试数量关系中的容斥问题是一类重要的计数问题，它涉及到多个集合的并集和交集的计算。这类问题在行测考试中经常出现，而且往往具有一定的难度。以下是对容斥问题的详细解析：
一、容斥问题的基本概念
容斥问题，又称包含与排斥原理，是一种在计数过程中避免重复计数的方法。当需要计算多个集合的并集元素个数，而这些集合之间存在交集时，直接相加会导致重复计数。容斥原理通过加减运算来排除重复计数的部分，从而得到准确的计数结果。
二、容斥问题的常见类型
1.二集合容斥问题：
涉及两个集合A和B。
需要计算的是A和B的并集元素个数，或者同时满足A和B条件的元素个数。
常见的公式为：总人数=A+B-A∩B+都不满足的情况(如果不存在都不满足的情况，则公式中不加此项)。
2.三集合容斥问题：
涉及三个集合A、B和C。
需要计算的是A、B和C的并集元素个数，或者同时满足A、B、C三个条件的元素个数。
三集合容斥问题又分为标准型和非标准型。
①标准型：给出了A∩B、B∩C、A∩C以及A∩B∩C的具体数据。
公式为：总人数-都不满足的情况=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C。
②非标准型：只给出了满足两个条件的数据(如A∩B、B∩C、A∩C)，但没有给出A∩B∩C的具体数据。
公式为：总人数-都不满足的情况=A+B+C-满足两个条件的数据-2×A∩B∩C
三、容斥问题的解题技巧
1.识别容斥问题：
关注题目中是否出现“都…”、“都不…”等字眼，以及是否涉及多个集合的交集和并集。
2.确定集合和条件：
明确题目中的集合和条件，将问题转化为数学表达式。
3.应用容斥原理公式：
根据题目类型(二集合或三集合)和已知条件，选择合适的容斥原理公式进行计算。
4.画图辅助理解：
对于复杂的容斥问题，可以通过画图来辅助理解和计算。画图可以帮助清晰地展示集合之间的关系和交集部分。
5.注意特殊情况：
在处理三集合容斥问题时，要特别注意区分标准型和非标准型，并正确应用相应的公式。
四、示例解析
示例一(二集合容斥问题)：
【例1】某单位派60名运动员参加运动会，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。其中有12人穿白上衣蓝裤子，有34人穿黑裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人?
A.14 B.15 C.16 D.17
解析：
设穿黑衣黑裤的有x人。
根据二集合计算公式：总人数=黑衣+黑裤-黑衣黑裤+白衣蓝裤，可得60=29+34-x+12。
解得x=15。
示例二(三集合容斥问题-标准型)：
【例2】有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有多少种?
A.16 B.18 C.20 D.22
解析：
本题考查容斥问题，属于三集合容斥类标准型。
设三种食品添加剂都不达标的为x种。
根据三集合容斥标准型公式：总人数-都不满足的情况=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C，列出方程68+77+59-54-43-35+30+x=120。
解得x=18。
示例三(三集合容斥问题-非标准型)：
【例3】某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为90%，在调查对象中有180人会利用网络课程进行学习，200人利用书本进行学习，100人利用移动设备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有50人，同时使用两种方式学习的有20人，不存在三种方式学习都不用的人，那么这次共发放了多少份问卷?
A.360 B.400 C.428 D.500
解析：
本题考查容斥问题，属于三集合容斥问题非标准题型。
根据公式：总数=A+B+C-满足两种情况的-2×满足三种条件，可知回收的问卷数=180+200+100-20-2×50=360份。
已知问卷回收率为90%，则发放的问卷数应该是360÷90%=400份。
综上所述，容斥问题是行测考试中数量关系部分的重要考点之一。通过理解和掌握容斥原理的基本概念、常见类型、解题技巧和示例解析等内容，考生可以更加有效地应对这类问题并在考试中取得好成绩。
京公网安备1101082038637号